Слайд 12

Сочетание с повторениями

Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Пример:Дано множествоА= . Составим 2- сочетания с повторениями:

Слайд 13

Число сочетаний с повторениями

Теорема1. Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества вычисляется по формуле Доказательство. Лемма. Количество упорядоченных наборов из 0 и 1 длины n, состоящих из k единиц равно. Доказательство Леммы. Упорядоченный набор из 0 и 1 однозначно определяется выбором мест для единиц. Число различных вариантов выбора k мест для единиц вычисляется по формуле Лемма доказана.

Слайд 14

Строим k-сочетания с повторениями из элементов множества В каждом таком наборе сначала расположим элементы типа, затем типа,и так далее. Каждому k-сочетанию с повторениями поставим в соответствие последовательность из 0 и 1 длины n+k-1, число единиц в этой последовательности равно k, число нулей n-1. Каждый 0 отделяет наборы различных типов. Каждое k-сочетание с повторениями однозначно определяет указанную последовательность и наоборот. По лемме таких последовательностей существует. Значит,

Слайд 15

Пример

В магазине продаются пирожные 4 сортов. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Используем формулу числа сочетаний с повторениями, так как покупка будет содержать пирожные повторяющихся сортов.

Слайд 16

Сводная таблица

Слайд 17

Решение задач

Слайд 18

Задачи

1) В почтовом отделении продают 5 видов интернет-карт. Сколькими способами можно купить в нем 3 различные карты? Сколькими способами можно купить 3 карты? Решение. Ответ на первый вопрос получим с помощью формулы числа сочетаний без повторений, так как карты различные На второй вопрос ответим, используя формулу числа сочетаний с повторениями, так как не сказано, что карты различных видов, значит виды карт могут повторяться

Слайд 19

2)В классе 8 мальчиков и 9 девочек. Сколькими способами можно выбрать группу детей, состоящей из 4 мальчиков и 3 девочек? Решение. Четырех мальчиков выберем из 8, троих девочек – из 9. По правилу умножения получим

Слайд 20

3)Используя бином Ньютона, раскрыть скобки. Решение.

Слайд 21

4)Сколькими способами можно раздать 6 одинаковых апельсинов между тремя детьми? Решение. Так как апельсины одинаковые, их вообще нельзя использовать в качестве 6 различных элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из троих детей. Будем выбирать детей для апельсинов. Используем формулу числа сочетаний с повторениями, так как одному ребенку может достаться несколько апельсинов, а может не достаться ни одного.

Слайд 22

5)Сколькими способами можно распределить 5 одинаковых принтеров, 3 телефонных аппарата, 7 мониторов между 4 фирмами? Решение. Распределим сначала принтеры, затем телефонные аппараты, и, наконец, мониторы. Используя правило умножения, получим

Слайд 23

6) Сколькими способами можно закодировать дверь, если она открывается при одновременном нажатии определенного количества различных цифр? Код может состоять из 1, или 2, или …,или 10 цифр. Для однозначного кода различных вариантов существует, для двузначного, …, для десятизначного. По правилу сложения получим Использовали следствие из бинома Ньютона.

Слайд 24

Вопросы: Сравнить выражения Си А Вычислить С k n n k 8 2

Посмотреть все слайды

Презентация «Сочетания» является наглядным пособием для рассмотрения темы «Сочетания» при изучении основ комбинаторики в 9 классе. Яркое наглядное представление учебного материала способствует лучшей эффективности урока, более быстрого достижения целей урока. Презентация содержит примеры сочетаний, подводящие к определению понятия, определение, выделенное для записи в тетради и запоминания, рассматриваются особенности понятия и поиска его значения, математический аппарат для решения задач с сочетаниями, примеры решения задач.

В данной презентации для лучшего понимания материала используются примеры, наглядно рассмотренные на рисунках. При помощи слайдов и анимации материал структурирован, выделены важные понятия, детали. В целом такое представление избавляет учителя от необходимости применять другие для наглядности инструменты и предметы. Презентация может сопровождать объяснение учителя по теме, понятно и ярко демонстрируя особенности изучаемых понятий.

Презентация начинается с представления темы. После этого демонстрируется решение задачи, в которой необходимо найти количество букетов из трех роз при наличии 5 роз различного цвета. На рисунке демонстрируются 5 роз разных цветов, которые подписаны a,b,c,d,e. Сначала рассматриваются все варианты, которые могут быть сложены с желтой розой. На экране отображаются по очереди все букеты с желтой розой. Их 6, и если обозначать такие букеты буквами, то это abc, abd, abe, acd, ace, ade. Далее рассматриваются все варианты, которые могут быть сложены без желтой розы. На экране демонстрируется красная роза и далее - три варианта с красной розой. Если обозначить полученные сочетания буквами, полученные варианты - bcd, bce, bde. Оставшиеся три розы могут сложить только один букет без красной и желтой роз - cde. Подытоживая решение, отмечается, что решение может быть сложено 10 способами. Все возможные варианты букетов отображены на экране. Количество возможных сочетаний обозначено C 5 3 =10. Данный пример послужил введением к понятию сочетаний в комбинаторике. При этом определение сочетания выделено отдельно на слайде 8 и заключено в рамку для запоминания. Сочетания определяются как множество, которое составлено из k элементов, выбираемых из некоторых n элементов.

На слайде 9 отмечена важная особенность сочетаний, которая заключается в том, что порядок элементов не существенный. Единственное отличие сочетаний элементов между собой - отличие хотя бы одним элементом. Сочетания в математике обозначаются C n k . Данное обозначение читается как число сочетаний из n элементов по k. Обозначение выделено на слайде 10 и заключено в рамку для запоминания.

Далее на рассмотренном примере определяем математический аппарат для поиска количества сочетаний. Для букетов из роз, рассмотренных в начале презентации, определили, что C 5 3 =10. Для вывода формулы числа сочетаний из n элементов по k для k≤n на экран выведены все возможные варианты размещения роз в букетах. При этом напоминается, что перестановки в данном случае определяются как P 3 , а число размещений, согласно принятому обозначению, равно A 5 3 . Количество сочетаний можно определить из формулы, которая выражает число сочетаний через число размещений и перестановок. Отмечается, что формула, определяющая количество сочетаний, выходит из формулы C 5 3 .P 3 =A 5 3 . Из нее видно, что число сочетаний будет C 5 3 =(A 5 3)/P 3 .

На слайде 14 формула, выведенная для нахождения числа сочетаний в данном случае для нахождения количества букетов роз из трех цветов, составленных из 5 данных роз, распространяется на общий случай. В общем случае формула для числа сочетаний из n по k элементов для k≤n выражается через число перестановок P k и число размещений A n k . Так как A n k =C n k .P k , то в общем случае число сочетаний находится по формуле C n k =(A n k)/P k . Если в данную формулу подставить выражения, при помощи которых находится значение A n k и значение P k , то получится общая формула для нахождения числа сочетаний: C n k =n!/k!(n-k)!. Эта формула выделена цветом для запоминания, так как с помощью нее в задачах нужно будет находить значение количества сочетаний.

На слайде 16 приводится пример решения задачи, в которой нужно найти число сочетаний. В задаче необходимо найти количество способов, которыми можно выбрать 3 карандаша из набора в 12 карандашей. Очевидно, что данная операция представляет собой сочетания, так как порядок вы выбранном ряду элементов не имеет значения. Число сочетаний определяется по формуле C n k =n!/k!(n-k)!. Подставив значения из задачи в данную формулу, получим C 12 3 =12!/(3!.9!)=(10.11.12)/(1.2.3)=220.

На слайде 17 рассматривается решение еще одной задачи, в которой необходимо найти количество способов выбора четырех мальчиков и трех девочек для соревнований из класса, где 12 девочек и 14 мальчиков. Очевидно, что группа для соревнований набирается сочетаниями по 4 из 14 мальчиков и сочетаниями по 3 из 12 девочек. Общее число сочетаний будет равно произведению C 14 4 .C 12 3 . После выполнения вычислений в итоге получается число способов - 220220.

Презентация «Сочетания» рекомендуется в качестве наглядного пособия для проведения урока алгебры по данной теме. Также данный материал может быть использован для проведения урока при дистанционном обучении. Понятное подробное объяснение материала поможет самостоятельно ученикам разобраться с понятием сочетаний и способом решения подобных задач.

Перестановки Размещения Сочетания Вероятность

МОУ СШ № 30 г.Волгоград

Учитель математики Склейнова Н.И.

Факториал

Определение 1

Факториалом называется произведение первых n натуральных чисел

n! = 1*2*2*…(n-2)(n-1)n

2!=1*2=2

3!=1*2*3=6

4!= 1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

Перестановки

Определение 2

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке Р=n!

Пример 1

Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Р 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320(способов)

Размещения

Определение 3

Размещением из n элементов по k (k≤ n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов

Пример 2

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

А 8 4 =8*7*6*5= 1680 (способов)

А n k =

Сочетания

Определение 4

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов

С n k =

Пример 3

Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

С 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455(способов)

Вероятность

Определение 5

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для него исходов N(А) испытания к числу всех равновозможных исходов N

Р(А)= N(А)/N

Пример 4

Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик подготовил 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?

Р(А)=(25-11-8)/25= 0,24

Сложение вероятностей

Определение 6

Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий: А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В

Р(С)=Р(А)+Р(В)

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А)+Р( А )=1

Умножение вероятностей

Определение 7

Если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В

Р(С)=Р(А)*Р(В)

Вероятность

Сумма вероятностей

Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий

Р(А)+Р(В)= Р(А*В) +Р(А+В)

Вероятность суммы

Вероятность суммы двух событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)*Р(В)

Задача 1

Решение

Условие

Вероятность каждого попадания равна 0,8.

Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние 2 раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Вероятность каждого промаха равна 1-0,8= 0,2 .

По формуле умножения вероятностей получим

Р(А )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2

Р(А )= 0,02048 0,02

Ответ: 0,02

Задача 2

Условие

Решение

В Сказочной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,6 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 18 сентября, погода в Сказочной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 21 сентября в Сказочной стране будет отличная погода.

Так как 18 сентября погода хорошая, то 19 сентября с вероятностью 0,6 погода хорошая, а с вероятностью 0,4 отличная.

Если 19 сентября погода хорошая, то 20 сентября вероятность хорошей погоды равна 0,6*0,6=0,36

Вероятность отличной погоды равна 0,6*0,4=0,24

Аналогично, если 19 сентября погода отличная, то с вероятностью 0,4*0,6=0,24 она будет отличной и 20 сентября. Хорошей 20 сентября погода будет с вероятностью 0,4*0,4=0,16.

Рассуждая аналогично, получаем, что вероятность отличной погоды 21 сентября будет равна вероятности суммы: 0,6*0,24+ +0,6*0,24+0,4*0,16+0,6*0,24= 0,496

Задача 3

Условие

Решение

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система заблокирует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке заблокирует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет заблокирована системой контроля.

Пусть событие А={батарейка будет заблокирована}, тогда вероятность наступления данного события можно найти как объединение пересечений событий.

Р(А)=0,02*0,98+0,98*0,03

Р(А)=0,98(0,02+0,03)

Р(А)=0,98*0,05= 0,049

Ответ: 0,049

Литература

• Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся общеобразоват. Учреждений. Издательство «Просвещение», 2003

• Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа. Часть 1.Учебник для общеобразовательных организаций. Издательство «Мнемозина», 2015

• Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Издательство ООО «Легион», 2015

• Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2016. Математика. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНМО, 2016

КОМБИНАТОРИКА

Цели урока:

• Узнать, что изучает комбинаторика
• Узнать,как возникла комбинаторика
• Изучить формулы комбинаторики и научиться применять их при решении задач

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр.

Блез Паскаль

Пьер Ферма

Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Г.В. Лейбниц

Л. Эйлер.

Я. Бернулли

Лемма. Пусть в множестве A m элементов, а в множестве B - n элементов. Тогда число всех различных пар (a,b), где a\in A,b\in B будет равно mn. Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества A мы можем составить n таких различных пар, а всего в множестве A m элементов.

Размещения, перестановки, сочетания Пусть у нас есть множество из трех элементов a,b,c. Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? ab,ac,bc,ba,ca,cb.

Перестановки Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно Pn = n! =1 · 2 · 3 · ... · ( n-1)·n

Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n. По определению, считают, что 0!=1 1!=1 Пример всех перестановок из n=3 объектов (различных фигур) - на картинке. Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6 , так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Размещения Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно Aⁿm =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Определение. Размещениями множества из n различных элементов по m элементов (m ≤ n) называются комбинации , которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Сочетания Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов всевозможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно Cmn=n!(n−m)!⋅m!

Пример всех сочетаний из n=3объектов (различных фигур) по m=2- на картинке снизу. Согласно формуле, их должно быть ровно C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m! раз, то есть верна формула связи: Amn=Cmn⋅Pm.

Способ 1 . В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , при n=2, m=13.

Способ 2. Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,

а 15-ый уже играл со всеми.

Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий

ОТВЕТ. 105 партий.

Учитель математики Аксёнова Светлана Валерьевна

Бугровская СОШ Всеволожского района Ленинградской области

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Сочетания

Сочетания Число всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n . Все сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом; Порядок элементов здесь не существенен; Разница между сочетанием и размещением заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, но сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов.

Сочетания Число всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n . Найдите: Число сочетаний из 6 по 3: Число сочетаний из 4 по 4:

Задача №1 Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

Задача №2. У Минотавра в лабиринте томятся 25 пленников. а)Сколькими способами он может выбрать себе трёх из них на завтрак, обед и ужин? б)А сколько существует способов, чтобы отпустить трёх пленников на свободу? Решение: А) Порядок важен. Б) Порядок не важен

Задача №3 В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй - сходить за мелом, третий - пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором? 6

Сколькими различными способами из семи участников математического кружка можно составить команду из двух человек для участия в олимпиаде? Задача №4

Задача №5 В отделе работают 5 ведущих и 8 старших сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и двух старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор?

Из перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, наугад взяты 4 карты. Какова вероятность того, что все взятые карты тузы? Задача №6

Задача №7 В партии из 50 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу четыре детали. Определить, какова вероятность того, что все 4 детали окажутся бракованными. Всего исходов: Благоприятных исходов: Вероятность.